Sei
und
.
Nach
Fakt (3)
gilt
,
so dass also
zu zeigen ist. Betrachte
-
![{\displaystyle {}M={\left\{qi-pj\mid 1\leq i\leq t,\,1\leq j\leq u\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7222bf858c3bf2baff962caf6b430c6c3028bb)
Diese Menge besitzt
Elemente, und
,
da ja
und
teilerfremd sind. Es seien
die negativen Elemente aus
und
die positiven Elemente aus
. Es ist
genau dann, wenn
-
![{\displaystyle {}{\frac {qi}{p}}>j\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9389c9c2b3a2e8bcc51524bb4902ce92f71f649e)
ist, was genau für
der Fall ist. Zu jedem
,
,
gibt es also genau
Elemente in
. Damit hat
genau
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{t}\left\lfloor {\frac {qi}{p}}\right\rfloor =S(q,p)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f779224ea05b5f2c8cd3f4f7ed8fae7ce68d2379)
Elemente. Die entsprechende Überlegung liefert, dass
genau
Elemente besitzt, woraus
-
![{\displaystyle {}tu={\#\left(M\right)}={\#\left(M_{+}\right)}+{\#\left(M_{-}\right)}=S(q,p)+S(p,q)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedc50e15a8feee532b2cb2264aebeb8d8b27dcb)
folgt.