Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}k\in \mathbb {Z}$ kein Vielfaches von ${}p$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\epsilon _{i}=(-1)^{\left\lfloor {\frac {2ki}{p}}\right\rfloor }$, wobei ${}\epsilon _{i}$ wie im Gaußsches Vorzeichenlemma definiert ist.
2. Es ist ${}\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(2k,p)}$.
3. Ist ${}k$ ungerade, so ist ${}\left({\frac {k}{p}}\right)=(-1)^{S(k,p)}$.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen