Quadratwurzel aus 5/Intervallschachtelung/Beispiel

Aufgrund der Berechnungen in Beispiel wissen wir, dass in einem angeordneten Körper, der die ${}{\sqrt {5}}$ enthält, diese in den zunehmend kleiner werdenden Intervallen

${}[2,3]\supseteq [{\frac {22}{10}},{\frac {23}{10}}]\supseteq [{\frac {223}{100}},{\frac {224}{100}}]\supseteq [{\frac {2236}{1000}},{\frac {2237}{1000}}]\supseteq \ldots \,$

liegt. Die Länge der Intervalle ist hier ${}1,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}},\ldots$. Diese Intervalle gibt es auch in ${}\mathbb {Q}$ und sie helfen bei der Lokalisierung von ${}{\sqrt {5}}$, auch wenn diese Zahl gar nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehört. Der Vorteil einer solchen Intervallschachtelung gegenüber der Dezimalbruchfolge ist, dass sie den Wert von beiden Seiten her eingrenzt, während die Dezimalbruchfolge direkt nur untere approximierende Werte liefert. Wenn man beliebige konvergente Folgen betrachtet, so weiß man nur, dass grundsätzlich eine Approximation vorliegt, ohne dass man dies quantitativ ausdrücken kann. Bei einer Intervallschachtelung gibt jedes beteiligte Intervall eine direkte Eingrenzung, aus der der maximale Fehler unmittelbar abschätzbar ist.

Eine spezielle Methode ist die Intervallhalbierung. Dabei halbiert man das zuvor gefundene Intervall in zwei gleichlange Hälften und schaut, ob das gesuchte Element zur kleineren oder zur größeren Hälfte gehört und nimmt dann das passende Intervall als nächstes Intervall. Bei diesem Verfahren halbiert sich die Intervalllänge mit jedem Schritt. In unserem Beispiel erhält man

${}[2,3]\supseteq [2,{\frac {5}{2}}]\supseteq [2,{\frac {9}{4}}]\supseteq [{\frac {17}{8}},{\frac {9}{4}}]\supseteq [{\frac {35}{16}},{\frac {9}{4}}]\supseteq [{\frac {71}{32}},{\frac {9}{4}}]\supseteq [{\frac {143}{64}},{\frac {9}{4}}]\supseteq [{\frac {143}{64}},{\frac {287}{128}}]\supseteq \ldots \,.$