Quadratwurzel aus 5/Unter-und oberhalb/Beispiel

Wir wissen nach Fakt, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich $5$ ist. Wir können aber für jede rationale Zahl $x$ einfach bestimmen, ob ihr Quadrat $x^2$ größer oder kleiner als $5$ ist, und das Ergebnis können wir dann so interpretieren, dass $x$ kleiner oder größer als die nicht vorhandene Zahl $\sqrt{5}$ ist (wir beschränken uns im Moment auf positive rationale Zahlen). Für  $x=2$  ist  $2^2=4<5$  zu klein und für  $x=3$  ist  $3^2=9>5$  zu groß. Damit müssen wir uns über die rationalen Zahlen, die kleiner als $2$ oder aber größer als $3$ sind, keine Gedanken mehr machen. Aus  $y\ge x\ge 0$  folgt aus den Anordnungseigenschaften direkt  $y^2\ge x^2$,  siehe Fakt  (8). Man muss also nur Rechnungen für rationale Zahlen zwischen $2$ und $3$ durchführen. Nehmen wir beispielsweise  $x=\frac{7}{3}$,  so ist

${\left(\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{49}{9}>5.$

Nehmen wir  $x=\frac{9}{4}$,  so ist

${\left(\frac{9}{4}\right)}^2=\frac{81}{16}>5.$

Bei  $x=\frac{11}{5}$  ist

${\left(\frac{11}{5}\right)}^2=\frac{121}{25}<5.$

Wir wissen also, dass alle rationalen Zahlen oberhalb von $\frac{9}{4}$ (wegen $\frac{7}{3}>\frac{9}{4}$ ist dies die bessere Grenze) zu groß und alle rationalen Zahlen unterhalb von $\frac{11}{5}$ zu klein sind, wir müssen also nur noch Zahlen zwischen $\frac{11}{5}=2,2$ und $\frac{9}{4}=2,25$ überprüfen. Das vermittelt eine gewisse Größenvorstellung für die „gesuchte Zahl“ $\sqrt{5}$, es gibt aber unendlich viele Zahlen, die ebenfalls zwischen diesen beiden Zahlen liegen. Wenn wir endlich viele Zahlen dahingehend überprüft haben, ob ihr Quadrat kleiner oder größer als $5$ ist, so sind wir stets in einer vergleichbaren Situation, dass die Zahlen zwar einen „kleinen“ Bereich eingrenzen, es aber darin unendlich viele Zahlen gibt.

Ein anderer Ansatz ist es, direkt die Mengen

$K=\{x\in {\mathbb{Q}}_{\ge 0}\mid x^2<5\}$

und

$G=\{x\in {\mathbb{Q}}_{\ge 0}\mid x^2>5\}$

zu betrachten. Dies ist eine Zerlegung von ${\mathbb{Q}}_{\ge 0}$ in zwei disjunkte Teilmengen. Dieses Paar (bzw. eine Menge davon, da sie ja die andere als ihr Komplement festlegt) ist eine exakte Beschreibung der durch $\sqrt{5}$ in den rationalen Zahlen bedingten Lücke, der Spur, die $\sqrt{5}$ auf den rationalen Zahlen hinterlässt. Rechnerisch wurde zwar nichts gewonnen, da man nach wie vor für jedes einzelne $x$ durch eine Rechnung überprüfen muss, ob $x$ zu $K$ oder zu $G$ gehört. Es ist aber immerhin ein mathematisches Objekt gefunden, das $\sqrt{5}$ eindeutig beschreibt. Der Preis ist, dass dieses mathematische Objekt in der Potenzmenge der rationalen Zahlen angesiedelt und somit sehr abstrakt ist. Es handelt sich um einen sogenannten Dedekindschen Schnitt.