Quadratwurzel aus 5/Unter-und oberhalb/Beispiel

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Wir wissen, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ist. Wir können aber für jede rationale Zahl einfach bestimmen, ob ihr Quadrat größer oder kleiner als ist, und das Ergebnis können wir dann so interpretieren, dass kleiner oder größer als die nicht vorhandene Zahl ist (wir beschränken uns im Moment auf positive rationale Zahlen). Für ist zu klein und für ist zu groß. Damit müssen wir uns über die rationalen Zahlen, die kleiner als oder aber größer als sind, gar keine Gedanken mehr machen. Aus folgt aus den Anordungseigenschaften direkt , siehe Fakt  (8). Man muss also nur Rechnungen für rationale Zahlen zwischen und durchführen. Nehmen wir beispielsweise , so ist

Nehmen wir , so ist

Bei ist

Wir wissen also, dass alle rationalen Zahlen oberhalb von (wegen ist dies die bessere Grenze) zu groß und alle rationalen Zahlen unterhalb von zu klein sind, wir müssen also nur noch Zahlen zwischen und überprüfen. Das vermittelt eine gewisse Größenvorstellung für die „gesuchte Zahl“ , es gibt aber unendlich viele Zahlen, die ebenfalls zwischen diesen beiden Zahlen liegen. Wenn wir endlich viele Zahlen dahingehend überprüft haben, ob ihr Quadrat kleiner oder größer als ist, so sind wir stets in einer vergleichbaren Situation, dass die Zahlen zwar einen „kleinen“ Bereich eingrenzen, es aber darin unendlich viele Zahlen gibt.

Ein anderer Ansatz ist es, direkt die Mengen

und

zu betrachten. Dies ist eine Zerlegung von in zwei disjunkte Teilmengen. Dieses Paar (bzw. eine Menge davon, da sie ja die andere als Komplement festlegt) ist eine exakte Beschreibung der durch in den rationalen Zahlen bedingten Lücke, der Spur, die auf den rationalen Zahlen hinterlässt. Rechnerisch wurde zwar nichts gewonnen, da man nach wie vor für jedes einzelne durch eine Rechnung überprüfen muss, ob zu oder zu gehört. Es ist aber immerhin ein mathematisches Objekt gefunden, das eindeutig beschreibt. Der Preis ist, dass dieses mathematische Objekt in der Potenzmenge der rationalen Zahlen angesiedelt und somit sehr abstrakt ist. Es handelt sich um einen sogenannten Dedekindschen Schnitt.