Quadrik/4/Differentialoperatoren/Wirkung/Beispiel

Wir betrachten auf der Quadrik ${}K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ die Derivation

${}D=Y\partial _{X}-X\partial _{Y}\,$

${}Y$. Diese wird auf eine Nenneraufnahme ${}R_{XYZ}$ fortgesetzt, beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}D{\left({\frac {W}{XYZ}}\right)}&={\frac {XYZD(W)-WD(XYZ)}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&=-W{\frac {{\left(Y\partial _{X}-X\partial _{Y}\right)}(XYZ)}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}\\&=-W{\frac {Y^{2}Z-X^{2}Z}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}.\end{aligned}}$