Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir können durch eine Variablentransformation erreichen, dass , und dann können wir durch teilen, und annehmen, dass ist. Wir können durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt auf der Kurve liegt. Dann ist . Wenn zwei sich kreuzende Geraden vorliegen, so können wir durch Verschieben annehmen, dass der Nullpunkt nicht der Kreuzungspunkt ist (aber auf einer der Geraden liegt).

Die Idee ist, zu einem Punkt die Gerade durch und zu betrachten und den Schnitt dieser Geraden mit zu betrachten. Dieser Schnitt besteht aus maximal zwei Punkten (es sei denn, der Schnitt ist die volle Gerade), und da einer der Punkte ist, ist der andere Punkt, den es geben muss, eindeutig bestimmt.

Sei also gegeben. Die Gerade durch und durch besteht aus allen Punkten . Die Schnittpunkte mit erhält man also, wenn man in einsetzt und nach den Lösungen in sucht. Einsetzen ergibt die Bedingung

Die Lösung entspricht dem Nullpunkt, die wir schon kennen, die zweite Lösung ist

Dieser Ausdruck ist wohldefiniert, wenn ist (was maximal zwei Werte für ausschließt).

Zu gehört auf der Punkt

so dass

zu setzen ist.

Dies Abbildung ist auf der durch gegebenen Zariski-offenen Menge wohldefiniert (und diese Menge ist nicht leer, sobald der Körper mindestens drei Elemente besitzt).

Von nun an sei vorausgesetzt, dass mindestens zwei Punkte besitzt. Bei hat die Gestalt . Da wir vorausgesetzt haben, dass es mindestens zwei Punkte auf gibt, folgt, dass das Produkt von zwei homogenen Linearformen ist. Wenn das Quadrat einer Linearform ist, so liegt geometrisch einfach eine „verdoppelte Gerade“ vor, die sich direkt (bijektiv) parametrisieren lässt. Andernfalls ist das Produkt von zwei verschiedenen homogenen Linearformen und die zugehörigen Geraden verlaufen beide durch den Nullpunkt, was wir ausgeschlossen haben. In diesem Fall kann also nicht sowohl als auch gleich sein.

Wir haben also nur noch die Situation zu betrachten, wo nicht das Nullpolynom ist. Daraus folgt, dass die Abbildung auf ihrem Definitionsbereich bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv ist, da sich bei

wegen

aus dem Bild das Urbild rekonstruieren lässt.

Um zu zeigen, dass die Abbildung surjektiv bis auf endlich viele Ausnahmen ist, brauchen wir die Voraussetzung, dass irreduzibel ist. Dies bedeutet insbesondere, dass nicht die Vereinigung von zwei Geraden ist. Sei , und die -Koordinate von sei nicht null (es gibt maximal zwei Punkte mit -Koordinate null). Dann hat die Gerade durch und einen Schnittpunkt mit der Parametrisierungsgeraden . Bis auf endlich viele Werte von ist die Abbildung in diesem Punkt definiert und ist dann der Bildpunkt der Abbildung. Wegen der Irreduzibilität liegen auf den Ausnahmegeraden nur endlich viele Punkte von , daher werden fast alle Punkte erreicht.

Zur bewiesenen Aussage