Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt

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Sei eine Quadrik in zwei Variablen, also

(mit , , nicht alle ). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt.

Dann gibt es Polynome , , derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

in liegt.

Besitzt zumindest zwei Punkte, so ist die Abbildung nicht konstant und bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv.

Ist zusätzlich irreduzibel, so ist die Abbildung bis auf endlich viele Ausnahmen surjektiv. Insbesondere ist eine irreduzible Quadrik mit mindestens zwei Punkten eine rationale Kurve.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen