Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt

Es sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

(mit ${}\alpha$, ${}\beta$, ${}\gamma$ nicht alle ${}0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt.

Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, ${}Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$

in ${}C$ liegt.

Besitzt ${}C$ zumindest zwei Punkte, so ist die Abbildung nicht konstant und bis auf endlich viele Ausnahmen injektiv.

Ist ${}C$ zusätzlich irreduzibel, so ist die Abbildung bis auf endlich viele Ausnahmen surjektiv. Insbesondere ist eine irreduzible Quadrik mit mindestens zwei Punkten eine rationale Kurve.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen