Quadriken/Proportionalität und Exzentrizität/Aufgabe/Lösung

Der Abstand von ${}P=(x,y)$ zum Nullpunkt ist ${}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und der senkrechte Abstand zurAchse ${}x=1$ ist ${}|x-1|$. Die Proportionalität drückt man durch

${}{\frac {d(P,F)}{d(P,G)}}={\sqrt {e}}\,$

aus. Also ist

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {e}}(x-1){\text{ bzw. }}x^{2}+y^{2}=e(x-1)^{2}.$

Somit ist

${}(1-e)x^{2}+y^{2}+2ex-e=0\,$

eine algebraische Gleichung für eine Kurve, auf der alle Punkte liegen, die die Bedingung erfüllen. Bei ${}e=1$ wird die Gleichung zu

$y^{2}+2ex-e=0{\text{ bzw. }}x=-{\frac {1}{2e}}y^{2}+{\frac {1}{2}},$

sodass in diesem Fall eine Parabel vorliegt. Es sei also ${}e\neq 1$ im Folgenden. Die allgemeine Gleichung kann man zu

${}x^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}+{\frac {2e}{1-e}}x-{\frac {e}{1-e}}=0\,$

umformen und durch quadratisches Ergänzen auf die Form

${}{\left(x+{\frac {e}{1-e}}\right)}^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}-{\frac {e^{2}}{(1-e)^{2}}}-{\frac {e}{1-e}}=0\,$

bringen. Dies schreiben wir als

${}{\begin{aligned}{\left(x+{\frac {e}{1-e}}\right)}^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}&={\frac {e^{2}}{(1-e)^{2}}}+{\frac {e}{1-e}}\\&={\frac {e^{2}-e^{2}+e}{(1-e)^{2}}}\\&=:c\\&>0.\end{aligned}}$

Der Faktor ${}{\frac {1}{1-e}}$ ist für ${}e<1$ positiv und für ${}e>1$ negativ. Im ersten Fall liegt also nach Koordinatenwechsel eine Gleichung der Form

${}{\tilde {x}}^{2}+{\tilde {y}}^{2}=c\,,$

also eine Ellipse, und im zweiten Fall liegt

${}{\tilde {x}}^{2}-{\tilde {y}}^{2}=c\,$

vor, also eine Hyperbel.

Zur gelösten Aufgabe