Quartisches Polynom/Gerade/Nullstellen/Flächenberechnung/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir schreiben und lösen die Gleichung

    Diese führt auf

    und damit sind die reellen Nullstellen von gleich .

  2. Die Ableitung von ist

    Die Ableitung besitzt also drei Nullstellen bei

    Die zweite Ableitung ist und besitzt im Nullpunkt einen negativen Wert und in einen positiven Wert. Deshalb liegt in ein isoliertes lokales Maximum und in liegen isolierte lokale Minima vor. Für gegen geht die Funktion gegen , daher sind die beiden Minima global mit dem gleichen Wert (wegen der Symmetrie) und das lokale Maximum ist nicht global.

  3. Da es zwischen und keine Nullstelle gibt, verläuft der Graph in diesem Intervall unterhalb der -Achse. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist der Betrag des bestimmten Integrals
    also gleich .