Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Geraden/Fakt

Es sei ${}U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$, und zwar sei  ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$,  wobei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ sei.

Dann gibt es eine natürliche Bijektion

$\operatorname {Mor} \,(U,{\mathbb {A} }_{K}^{1})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,{\psi }\longmapsto {\tilde {\psi }}(T),$

wobei ${}T$ die Variable in  ${}K[T]=\Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})$  bezeichnet.

Insbesondere sind Morphismen von ${}U$ in die affine Gerade durch den globalen Ringhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \Gamma ({\mathbb {A} }_{K}^{1},{\mathcal {O}})=K[T]\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$

eindeutig bestimmt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen