Wir betrachten die durch die Gleichung
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![{\displaystyle {}2x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2b9919ed2df1342e74b0bd3edd661479cd002d)
gegebene Ellipse und die durch die Matrix
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![{\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e425ce1015e5dd8c27506c04f0c71faea09ad2fe)
gegebene bijektive lineare Abbildung
auf dem
. Es ist also
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![{\displaystyle {}\varphi {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}y\\2x\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d202a726226574e50efa2f42ca237e73b3ca4229)
Wenn
ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt
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![{\displaystyle {}2{\left({\frac {1}{2}}y\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}{\left(2x\right)}^{2}={\frac {1}{2}}y^{2}+2x^{2}=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd4ca88be84836ccf7d2894b708479d565ac893)
d.h. er liegt ebenfalls auf der Ellipse. Die Ellipse wird also unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist keine Isometrie, da der erste Standardvektor auf den Vektor
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216f3814732d32bd9d997c432fd1f8114fa3a6a7)
abgebildet wird, der die Norm
![{\displaystyle {}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de50c310dbe5a0c0947cedbb8a6b2fa48b0e3f78)
besitzt.