R^2/Ellipse auf sich selbst/Keine Drehung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}2x^{2}+{\frac {1}{2}}y^{2}=1\,$

gegebene Ellipse und die durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,$

gegebene bijektive lineare Abbildung ${}\varphi$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es ist also

${}\varphi {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}y\\2x\end{pmatrix}}\,.$

Wenn ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ein Punkt auf der Ellipse ist, also die Ellipsengleichung erfüllt, so gilt für den Bildpunkt

${}2{\left({\frac {1}{2}}y\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}{\left(2x\right)}^{2}={\frac {1}{2}}y^{2}+2x^{2}=1\,,$

d.h. er liegt ebenfalls auf der Ellipse. Die Ellipse wird also unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist keine Isometrie, da der erste Standardvektor auf den Vektor ${}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$ abgebildet wird, der die Norm ${}2$ besitzt.

Zur gelösten Aufgabe