R^n/Äquivalente Normen/Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind die euklidische Norm, die Summennorm und die Maximumsnorm äquivalent. Es sei dazu ${}x=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor, wobei ohne Einschränkung ${}x_{1}$ betragsmäßig der größte Eintrag sei. Dann gelten die Abschätzungen

${}\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}=\vert {x_{1}}\vert ={\sqrt {x_{1}^{2}}}\leq {\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\leq {\sqrt {nx_{1}^{2}}}={\sqrt {n}}\vert {x_{1}}\vert ={\sqrt {n}}\Vert {x}\Vert _{\rm {max}}\,$

und diese ergeben im Wesentlichen die Äquivalenz von euklidischer Norm und Maximumsnorm.