R^n/Abbildung/Injektivität auf Gerade/Aufgabe/Lösung

a) Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$ verschieden. Es gibt eine Gerade ${}G$, auf der diese beiden Punkte liegen. Da ${}\varphi {|}_{G}$ injektiv ist, ist

${}\varphi (P)\neq \varphi (Q)\,$

und somit ist ${}\varphi$ injektiv.

b) Wir betrachten ${}n=2$ und ${}M=\mathbb {R}$ und die Funktion

$\varphi (x,y)={\begin{cases}x\,,{\text{ falls }}x\neq 0\,,\\y\,,{\text{ falls }}x=0\,.\end{cases}}$

Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch

$y=ax{\text{ mit }}a\in \mathbb {R}$

und durch die durch ${}x=0$ gegebene Gerade (also die ${}y$-Achse) gegeben. Auf den Geraden vom ersten Typ ist ${}x$ die Projektion auf die ${}x$-Achse und damit bijektiv und auf der ${}y$-Achse ist die Funktion ${}y$ die Identität. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt ist also insbesondere injektiv. Dagegen ist beispielsweise

${}\varphi (1,1)=1=\varphi (1,2)\,$

und die Gesamtabbildung ist nicht injektiv.

Zur gelösten Aufgabe