R^n/Achsenunterraum/Abstand zu Punkt/Beispiel

Es sei ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ und ${}U=\langle e_{i},\,i\in J\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der von dieser Auswahl an Standardvektoren aufgespannte Achsenunterraum. Sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist der Abstand von ${}v$ zu ${}U$ gleich

${}d(v,U)={\sqrt {\sum _{i\not \in J}v_{i}^{2}}}\,.$

Der Lotfußpunkt von ${}v$ auf ${}U$ ist

${}p_{U}(v)={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit

${}w_{i}={\begin{cases}v_{i},\,{\text{ falls }}i\in J,\,\\0,\,{\text{ falls }}i\not \in J\,.\end{cases}}\,$