R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvariant/Fakt/Beweis

Beweis

Zu ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir die Translationsabbildung

$\varphi _{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P+v.$

Es sei ${}\mu :=(\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n}$ das Bildmaß unter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein ${}\sigma$-endliches Maß. Für jeden Quader ${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ ist ${}Q'=Q+v$ bzw. ${}{\tilde {Q}}=Q-v$ wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist

${}\mu (Q)=((\varphi _{v})_{*}\lambda ^{n})(Q)=\lambda ^{n}(\varphi _{v}^{-1}(Q))=\lambda ^{n}(Q-v)=\lambda ^{n}({\tilde {Q}})=\lambda ^{n}(Q)\,.$

Das Maß ${}\mu$ stimmt also auf den Quadern mit ${}\lambda ^{n}$ überein und daher ist nach Fakt überhaupt

${}\mu =\lambda ^{n}\,.$

Zur bewiesenen Aussage