R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvariant/Fakt/Beweis

Beweis

Zu  $v\in {ℝ}^n$  betrachten wir die Translationsabbildung

${\phi }_v:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n,P⟼P+v.$

Es sei  $\mu :=({\phi }_v{)}_{\ast }{\lambda }^n$  das Bildmaß unter der Translationsabbildung. Dieses ist wieder ein $\sigma$-endliches Maß. Für jeden Quader  $Q=[a_1,b_1[\times \cdots \times [a_n,b_n[$  ist  $Q^{\prime }=Q+v$  bzw.  $\tilde{Q}=Q-v$  wieder ein achsenparalleler Quader, wobei sich die Seitenlängen nicht ändern. Daher ist

$\mu (Q)=(({\phi }_v{)}_{\ast }{\lambda }^n)(Q)={\lambda }^n({\phi }_v^{-1}(Q))={\lambda }^n(Q-v)={\lambda }^n(\tilde{Q})={\lambda }^n(Q).$

Das Maß $\mu$ stimmt also auf den Quadern mit ${\lambda }^n$ überein und daher ist nach Fakt überhaupt

$\mu ={\lambda }^n.$

Zur bewiesenen Aussage