R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abschätzung ${}\leq$ folgt aus Fakt  (2).

Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von ${}T_{1}\cup T_{2}$ gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}d(P_{1},P_{2})>0$ für alle ${}P_{1}\in T_{1}$ , ${}P_{2}\in T_{2}$, ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu (mindestens) einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie ${}\lambda ^{n}(T_{1})+\lambda ^{n}(T_{2})$.

Zur bewiesenen Aussage