R^n/Messbare Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge.

Dann ist das ${}n$-dimensionale Volumen von ${}T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller Quader-Überpflasterungen ${}Q_{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, von ${}T$, also

${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {inf} {\left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda ^{n}(Q_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }Q_{i}\right\}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen