R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies ergibt sich aus der expliziten Beschreibung der vertikalen Ableitung zu einem linearen Zusammenhang, siehe Bemerkung.
2. Klar wegen (1).
3. Folgt aus (2) und aus Fakt.
4. Wir schreiben ${}V=\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}$ und ${}W=\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}$. Nach Fakt und den schon bewiesenen Teilen ist

   ${}{\begin{aligned}\nabla _{V}W&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}$

   Für einen Punkt ${}P\in U$ ist dies

   $\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P)(\partial _{i}f_{j})(P)\right)}\partial _{j}.$

   Ebenso ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}&={\left((\partial _{j}f_{i})(P)\right)}_{ji}{\begin{pmatrix}h_{1}(P)\\\vdots \\h_{n}(P)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{1}\right)}(P)\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{n}\right)}(P)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage