Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann gilt lokal auf einem Kartengebiet mit Koordinaten ${}x_{i}$ und Ableitungsfeldern ${}\partial _{i}$ und Basisschnitten ${}s_{j}$ in ${}E$ für die zugehörigen Christoffelsymbole für stetig differenzierbare Funktionen ${}h_{i},f_{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ die Beziehung

$\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}=\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen