Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann gilt lokal auf einem Kartengebiet mit Koordinaten $x_i$ und Ableitungsfeldern ${\partial }_i$ und Basisschnitten $s_j$ in $E$ für die zugehörigen Christoffelsymbole für stetig differenzierbare Funktionen $h_i,f_j:U\to ℝ$ die Beziehung

${\mathrm{\nabla }}_{\sum _{i=1}^n{h}_i{\partial }_i}\left(\sum _{j=1}^r{f}_j{s}_j\right)=\sum _{k=1}^r(\sum _{i=1}^n{h}_i{\partial }_i{f}_k+\sum _{i,j}{h}_i{f}_j{\Gamma }_{ij}^k)s_k.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen