R^n/Offene Teilmenge/Zusammenhängend und wegzusammenhängend/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu einem Punkt $x\in U$ betrachten wir die Menge

$Z(x)=\{y\in U\mid \text{ Es gibt einen stetigen Weg von }x\text{ nach }y\}.$

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte $x_1,x_2\in U$ entweder  $Z(x_1)=Z(x_2)$  oder aber  $Z(x_1)\cap Z(x_2)=\mathrm{\varnothing }$.  Wenn $U$ nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre  $U\ne Z(x)$  und es gäbe eine Zerlegung

$U=Z(x)\uplus \bigcup _{y\in ̸Z(x)}Z(y)$

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.

Zur gelösten Aufgabe