R^n/Ohne abzählbar viele Punkte/Euklidische Metrik/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$ zwei Punkte und ${}G$ die dadurch definierte Gerade. Wir identifizieren ${}G$ mit den reellen Zahlen, ${}P$ mit dem Nullpunkt und ${}Q$ mit einer positiven reellen Zahl. Die induzierte euklidische Metrik ist dann der Betrag. Der Durchschnitt ${}T\cap G$ ist ebenfalls abzählbar. Wir wählen ${}u,v\in \mathbb {R} \setminus T$ mit

${}0<u<Q<v\,.$

Mit der Dreiecksungleichung ist dann einerseits

${}d(0,Q)\leq d(0,u)+d(u,Q)=\vert {u}\vert +\vert {Q-u}\vert =\vert {Q}\vert \,$

und andererseits

${}\vert {Q}\vert =\vert {v}\vert -\vert {Q-v}\vert =d(0,v)-d(v,Q)\leq d(0,Q)\,,$

also ist

${}d(0,Q)=\vert {Q}\vert \,.$

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