R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe/Lösung

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  1. Es seien verschiedene reelle Zahlen. Für müssen zeigen, dass es einen -Ausdruck in einer freien Variablen gibt, der gilt, wenn man durch interpretiert, aber nicht, wenn man ihn durch interpretiert. Ohne Einschränkung sei . Wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen in gibt es eine rationale Zahl mit

    Sei . Dann bedeuten diese Ungleichungen und . Somit ist der Ausdruck , der durch

    mit Summanden links und Summanden rechts realisiert wird, ein Ausdruck, der bei Interpretation von durch gilt, bei Interpretation durch aber nicht.

  2. Da das Symbolalphabet abzählbar ist, gibt es überhaupt nur abzählbar viele Ausdrücke in der Sprache . Da die reellen Zahlen überabzählbar sind, kann es also aus Anzahlgründen gar nicht für jede reelle Zahl einen charakterisierenden Ausdruck geben.
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