R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}r,s\in \mathbb {R}$ verschiedene reelle Zahlen. Für müssen zeigen, dass es einen ${}S$-Ausdruck in einer freien Variablen ${}x$ gibt, der gilt, wenn man ${}x$ durch ${}r$ interpretiert, aber nicht, wenn man ihn durch ${}s$ interpretiert. Ohne Einschränkung sei ${}r<s$. Wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ gibt es eine rationale Zahl ${}q$ mit

   ${}r\leq q<s\,.$

   Sei ${}q={\frac {m}{n}}$. Dann bedeuten diese Ungleichungen ${}nr\leq m$ und ${}ns>m$. Somit ist der Ausdruck ${}nx\leq m$, der durch

   ${}\alpha :=x+\cdots +x\leq 1+\cdots +1\,$

   mit ${}n$ Summanden links und ${}m$ Summanden rechts realisiert wird, ein Ausdruck, der bei Interpretation von ${}x$ durch ${}r$ gilt, bei Interpretation durch ${}s$ aber nicht.

2. Da das Symbolalphabet abzählbar ist, gibt es überhaupt nur abzählbar viele Ausdrücke in der Sprache ${}L^{S}$. Da die reellen Zahlen überabzählbar sind, kann es also aus Anzahlgründen gar nicht für jede reelle Zahl einen charakterisierenden Ausdruck geben.

Zur gelösten Aufgabe