R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition

Stetigkeit für reelle Funktionen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)$

eine Funktion und ${}x\in \mathbb {R}$. Die Funktion ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ existiert, so dass

${}f{\left({\bigl ]}x-\delta ,x+\delta {\bigr [}\right)}\subseteq {\bigl ]}f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon {\bigr [}\,$

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist.