Rationale Funktion/Gemischte Taylorinterpolation/3/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung von ${}f(x)={\frac {x^{2}+4x-3}{x^{2}+7}}$ ist

${}f'(x)={\frac {(x^{2}+7)(2x+4)-2x(x^{2}+4x-3)}{(x^{2}+7)^{2}}}\,.$

Somit ist

${}f(0)=-{\frac {3}{7}}\,,$

${}f'(0)={\frac {28}{49}}={\frac {4}{7}}\,,$

${}f(2)={\frac {9}{11}}\,,$

${}f'(2)={\frac {88-36}{121}}={\frac {52}{121}}\,.$

Diese Daten legen die linearen Approximationen fest. Wir setzen das gesuchte Polynom als

${}h(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

an. Die Ableitung davon ist

${}h'(x)=3ax^{2}+2bx+c\,.$

Aus den Werten an der Stelle ${}0$ folgt direkt

${}d=-{\frac {3}{7}}\,$

und

${}c={\frac {4}{7}}\,.$

Somit verbleiben die beiden Bedingungen

${}h(2)=8a+4b+2\cdot {\frac {4}{7}}-{\frac {3}{7}}={\frac {9}{11}}\,$

und

${}h'(2)=12a+4b+{\frac {4}{7}}={\frac {52}{121}}\,.$

Die Differenz dieser beiden Gleichungen führt auf

${}-4a+{\frac {1}{7}}={\frac {9}{11}}-{\frac {52}{121}}={\frac {99-52}{121}}={\frac {47}{121}}\,$

bzw.

${}-4a={\frac {47}{121}}-{\frac {1}{7}}={\frac {329-121}{847}}={\frac {208}{847}}\,,$

also

${}a=-{\frac {52}{847}}\,.$

Somit ist

${}b=-3a-{\frac {1}{7}}+{\frac {13}{121}}=3\left({\frac {52}{847}}\right)-{\frac {1}{7}}+{\frac {13}{121}}={\frac {156-121+91}{847}}={\frac {18}{121}}\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${}h(x)=-{\frac {52}{847}}x^{3}+{\frac {18}{121}}x^{2}+{\frac {4}{7}}x-{\frac {3}{7}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe