Rationale Funktion/K/Differenzierbar/Fakt

Es seien  ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$  Polynome und es sei  ${}U:={\left\{x\in {\mathbb {K} }\mid Q(x)\neq 0\right\}}$. 

Dann ist die rationale Funktion

$U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

differenzierbar mit der Ableitung

${}{\left({\frac {P(x)}{Q(x)}}\right)}'={\frac {P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q(x)^{2}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen