Rationale Funktion/X/Graph/Parametrisierung des Abschlusses/Bemerkung

Der affine Graph ${}V(YH-G)$ einer rationalen Funktion ${}G/H$ wird durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(H)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,x\longmapsto \left(x,\,{\frac {G(x)}{H(x)}}\right)=\left({\frac {xH(x)}{H(x)}},\,{\frac {G(x)}{H(x)}}\right),$

parametrisiert. Wir wenden darauf Fakt an. Bei

${}d=\operatorname {grad} \,(G)>\operatorname {grad} \,(H)=e\,$

ist die projektive Parametrisierung gleich

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},\,{\hat {G}}(x,y),\,{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right),$

bei

${}d=\operatorname {grad} \,(G)\leq \operatorname {grad} \,(H)=e\,$

ist die projektive Parametrisierung gleich

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)x,\,{\hat {G}}(x,y)y^{e-d+1},\,{\hat {H}}(x,y)y\right).$