Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt

Es sei

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,s\longmapsto {\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}}\right)},$

eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei ${}d$ der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien ${}{\hat {\varphi _{1}}},{\hat {\varphi _{2}}},{\hat {\psi }}$ die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen ${}t$) davon. Es seien ${}H_{i}$ die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von ${}t$ derart, dass ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ alle den Grad ${}d$ besitzen.

Dann definieren die ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ einen Morphismus

$H\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(s,t)\longmapsto \left(H_{1}(s,t),\,H_{2}(s,t),\,H_{3}(s,t)\right),$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {H}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ ist.

Dabei liegt das Bild unter ${}H$ auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen