Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}H$ ist aufgrund von Aufgabe wohldefiniert, und zwar auf ganz ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ , da ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ insgesamt teilerfremd sind. Zur Kommutativität muss man lediglich beachten, dass ${}s\in D(\psi )\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ einerseits über ${}(s,1)$ auf

{}(H_{1}(s,1),H_{2}(s,1),H_{3}(s,1))=(\varphi _{1}(s),\varphi _{2}(s),\psi (s))\,

abgebildet wird und andererseits auf

{}\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}},1\right)=(\varphi _{1}(s),\varphi _{2}(s),\psi (s))\,.

Für den Zusatz sei ${}C$ der affine Abschluss des Bildes und ${}{\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ der projektive Abschluss davon. Wir betrachten das offene Komplement ${}U={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus {\bar {C}}$ . Da die Abbildung stetig ist, ist das Urbild ${}H^{-1}(U)$ offen in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ , und es kann nur Punkte aus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus D(\psi )$ enthalten. Eine endliche und offene Teilmenge der projektiven Geraden muss aber leer sein.