Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung $H$ ist aufgrund von Aufgabe wohldefiniert, und zwar auf ganz ${\mathbb{P}}_K^1$, da ${\phi }_1,{\phi }_2,\psi$ insgesamt teilerfremd sind. Zur Kommutativität muss man lediglich beachten, dass  $s\in D(\psi )\subseteq {𝔸}_K^1$  einerseits über $(s,1)$ auf

$(H_1(s,1),H_2(s,1),H_3(s,1))=({\phi }_1(s),{\phi }_2(s),\psi (s))$

abgebildet wird und andererseits auf

$(\frac{{\phi }_1(s)}{\psi (s)},\frac{{\phi }_2(s)}{\psi (s)},1)=({\phi }_1(s),{\phi }_2(s),\psi (s)).$

Für den Zusatz sei $C$ der affine Abschluss des Bildes und  $\overline{C}\subset {\mathbb{P}}_K^2$  der projektive Abschluss davon. Wir betrachten das offene Komplement  $U={\mathbb{P}}_K^2\setminus \overline{C}$.  Da die Abbildung stetig ist, ist das Urbild $H^{-1}(U)$ offen in ${\mathbb{P}}_K^1$, und es kann nur Punkte aus ${\mathbb{P}}_K^1\setminus D(\psi )$ enthalten. Eine endliche und offene Teilmenge der projektiven Geraden muss aber leer sein.

Zur bewiesenen Aussage