Rationale Parametrisierung/Gleichung/3/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten von den Zählerpolynomen und dem Nennerpolynom die gleichgradigen Homogenisierungen

${}H_{1}=T^{2}+ST+S^{2}\,,$

${}H_{2}=ST-S^{2}\,$

und

${}H_{3}=T^{2}\,.$

Wir betrachten die monomialen Kombinationen ${}H_{1}^{i}H_{2}^{j}H_{3}^{k}$ vom Grad (bezüglich ${}S,T$)

${}2(i+j+k)=4\,.$

Hierfür gibt es die sechs Möglichkeiten

$(2,0,0),\,(0,2,0),\,(0,0,2),\,(1,1,0),\,(1,0,1),\,(0,1,1).$

Da es nur fünf Monome in ${}S$ und ${}T$ vom Grad ${}4$ gibt, muss es zwischen den homogenen Polynomen ${}H_{1}^{i}H_{2}^{j}H_{3}^{k}$, wobei die Exponententupel durch die angegebene Liste laufen, eine nichtlineare Relation geben. Es ist

${}F_{1}=H_{1}^{2}H_{2}^{0}H_{3}^{0}={\left(T^{2}+ST+S^{2}\right)}^{2}=T^{4}+2ST^{3}+3S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}\,,$

${}F_{2}=H_{1}^{1}H_{2}^{2}H_{3}^{0}={\left(ST-S^{2}\right)}^{2}=S^{2}T^{2}-2S^{3}T+S^{4}\,,$

${}F_{3}=H_{1}^{0}H_{2}^{0}H_{3}^{2}=T^{4}\,,$

${}{\begin{aligned}F_{4}&=H_{1}^{1}H_{2}^{1}H_{3}^{0}\\&={\left(T^{2}+ST+S^{2}\right)}{\left(ST-S^{2}\right)}\\&=ST^{3}-S^{4},\end{aligned}}$

${}F_{5}=H_{1}^{1}H_{2}^{0}H_{3}^{1}={\left(T^{2}+ST+S^{2}\right)}T^{2}=T^{4}+ST^{3}+S^{2}T^{2}\,,$

${}F_{6}=H_{1}^{0}H_{2}^{1}H_{3}^{1}={\left(ST-S^{2}\right)}T^{2}=ST^{3}-S^{2}T^{2}\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}F_{1}+F_{2}+2F_{4}&=T^{4}+2ST^{3}+3S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}+S^{2}T^{2}-2S^{3}T+S^{4}+2{\left(ST^{3}-S^{4}\right)}\\&=T^{4}+4ST^{3}+4S^{2}T^{2}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}F_{1}+F_{2}+2F_{4}-4F_{5}+3F_{3}=0\,.$

Also ist

$U^{2}+V^{2}+3W^{2}+2UV-4UW$

ein Polynom, das ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ annulliert. Daher ist

${\left({\frac {U}{W}}\right)}^{2}+{\left({\frac {V}{W}}\right)}^{2}+2{\frac {U}{W}}\cdot {\frac {V}{W}}-4{\frac {U}{W}}+3$

bzw.

$X^{2}+Y^{2}+2XY-4X+3$

ein Polynom, dass die rationalen Funktionen ${}{\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}$ und ${}{\frac {t-1}{t^{2}}}$ annulliert. Dies wird durch die Probe

${}{\begin{aligned}\,&\,{\left({\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {t-1}{t^{2}}}\right)}^{2}+2{\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}\cdot {\frac {t-1}{t^{2}}}-4{\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}}+3\\&={\frac {1}{t^{4}}}{\left(t^{4}+t^{2}+1+2t^{3}+2t^{2}+2t+t^{2}-2t+1+2t^{3}+2t^{2}+2t-2t^{2}-2t-2-4t^{4}-4t^{3}-4t^{2}+3t^{4}\right)}\\&=0\end{aligned}}$

bestätigt.

Zur gelösten Aufgabe