Rationale Parametrisierung/Hyperbel/Keine polynomiale Parametrisierung/Beispiel

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Wir betrachten die Hyperbel und behaupten, dass es keine polynomiale Parametrisierung davon gibt. Dies folgt einfach daraus, dass zu zwei Polynomen und die Bedingung, für jedes auf zu liegen, gerade

bedeutet, bzw., dass im Polynomring ist (was im Fall eines unendlichen Körpers äquivalent ist; bei einem endlichen Körper ist die zweite Identität die „richtige“ Bedingung). Das bedeutet aber, dass diese Polynome invers zueinander sind und daher Einheiten sind. Im Polynomring sind aber lediglich die Konstanten Einheiten. Also sind beide Polynome konstant und damit ist die dadurch definierte Abbildung konstant, und es liegt keine polynomiale Parametrisierung vor. Dagegen ist

eine rationale Parametrisierung der Hyperbel.