Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt

Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche

Zu jeder rationalen Zahl ${}q$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es ein eindeutig bestimmtes ${}a\in \mathbb {Z}$ derart, dass

${}{\frac {a}{10^{k}}}\leq q<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,$

gilt.

D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ${}{\frac {1}{10^{k}}}$ ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen