Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

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Wir zeigen zuerst, dass das neutrale Element zur Verknüpfung ist. Für eine natürliche Zahl ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

Für negatives mit und ist

und daraus folgt

Für einen Bruch mit ist

und

Damit ist

da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

muss

sein (für ), da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert den Wert ergibt. Daher ist schließlich ist

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