Wir zeigen zuerst, dass das neutrale Element zur Verknüpfung ist. Für eine natürliche Zahl ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz
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Für negatives mit
und
ist
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und daraus folgt
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Für einen Bruch mit
ist
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und
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Damit ist
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da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert ergibt.
Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen
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Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen
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muss
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sein
(für
),
da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert den Wert ergibt. Daher ist schließlich ist
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