Rationale Zahlen/Addition und Multiplikation/Motivation durch Proportionalität/Bemerkung

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Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang durch

und ein weiterer (gleichskaliger) proportionaler Zusammenhang durch

gegeben. Beispielsweise seien (vergleiche Bemerkung) die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass Tage (und Nächte) Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass Tage Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Taganzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tageanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für Tage gleich und die Verpflegungskosten sind für Tage gleich , die Gesamtkosten für Tage sind also Euro.

Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammenhängen wie in Bemerkung betrachten.