Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also
$x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$

Dann ist

${}{\left(x+y\right)}+z={\left({\frac {a}{r}}+{\frac {b}{r}}\right)}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b}{r}}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b+c}{r}}=x+{\left(y+z\right)}\,.$

Ferner ist

${}0+{\frac {a}{b}}={\frac {0}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {0+a}{b}}={\frac {a}{b}}\,.$

Zu ${}x={\frac {a}{b}}$ betrachtet man ${}y={\frac {-a}{b}}$ . Dann ist

${}x+y={\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {a-a}{b}}={\frac {0}{b}}=0\,.$
Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die ${}1={\frac {1}{1}}$ hat die Eigenschaft
${}1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,,$

es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ${}z\neq 0$ ist ${}z={\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\neq 0$ (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von ${}0$ verschieden) und daher ist auch der umgedrehte Bruch

${}z={\frac {b}{a}}\,$

eine rationale Zahl, und es gilt

${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1\,.$
Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei
$x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$

Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen

${}{\begin{aligned}x\cdot (y+z)&={\frac {a}{r}}\cdot {\left({\frac {b}{r}}+{\frac {c}{r}}\right)}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b+c}{r}}\\&={\frac {a(b+c)}{r^{2}}}\\&={\frac {ab+ac}{r^{2}}}\\&={\frac {ab}{r^{2}}}+{\frac {ac}{r^{2}}}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b}{r}}+{\frac {a}{r}}\cdot {\frac {c}{r}}\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage