Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Sei also

    Dann ist

    Ferner ist

    Zu betrachtet man . Dann ist

  2. Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die hat die Eigenschaft

    es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ist mit (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von verschieden) ist auch der umgedrehte Bruch

    eine rationale Zahl, und es gilt

  3. Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei

    Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen

Zur bewiesenen Aussage