Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt

Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

$\frac{a}{b},$

wobei  $a,b\in \mathbb{Z}$  und  $b\ne 0$  sind, und wobei zwei Ausdrücke $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn  $ad=bc$  (in $\mathbb{Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet.

Einen Ausdruck $\frac{a}{b}$ nennt man Bruch, wobei $a$ der Zähler und $b$ der Nenner des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben, beispielsweise ist  $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.  Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl $\frac{a}{1}$ schreibt man einfach $a$. In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Es gelten die folgenden Identitäten (dabei seien $c,d\ne 0$, ansonsten seien alle  $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$  beliebig).

1. $\frac{1}{-1}=-1,$

2. $\frac{0}{c}=0,$

3. $\frac{c}{c}=1,$

4. $\frac{a}{c}=\frac{ad}{cd}.$

Die Addition und die Multiplikation auf rationalen Zahlen wird folgendermaßen festgelegt.

1. $\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{d}:=\frac{ab}{cd}.$

2. $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}:=\frac{ad+bc}{cd}.$

Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operationen sind wohldefiniert und wie in $\mathbb{Z}$ assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Diese Eigenschaften kann man auf die entsprechenden Eigenschaften der ganzen Zahlen zurückführen, siehe Aufgabe.

Die  $0=\frac{0}{1}$  hat wieder die Eigenschaft

$0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$

und die  $1=\frac{1}{1}$  hat wieder die Eigenschaft

$1\cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}.$

Ferner gibt es wieder zu einer rationalen Zahl $\frac{a}{b}$ die negative Zahl

$-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}.$

Sie besitzt die charakteristische Eigenschaft

$-\frac{a}{b}+\frac{a}{b}=\frac{-a+a}{b}=0.$

Zu einer rationalen Zahl $\frac{a}{b}$ mit  $a,b\ne 0$  (also wenn Zähler und Nenner von $0$ verschieden sind) ist auch der umgedrehte Bruch $\frac{b}{a}$ eine rationale Zahl, und es gilt

$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}=1.$

Man nennt $\frac{b}{a}$ die inverse rationale Zahl zu $\frac{a}{b}$.

Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren (die ganzen Zahlen seien dort schon platziert). Die rationale Zahl $\frac{a}{b}$ mit  $a,b\in {\mathbb{N}}_{+}$  findet man so: Man unterteilt die Strecke von $0$ nach $a$ in $b$ gleichlange Teilstrecken. Die Zahl $\frac{a}{b}$ ist dann die rechte Grenze der (von links) ersten Teilstrecke. Insbesondere ist $\frac{1}{b}$ die Länge des Intervalls, das $b$-fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke (oder das Einheitsintervall) ergibt.

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. Dabei gilt für $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ mit $a,c\in \mathbb{Z}$ und $b,d\in {\mathbb{N}}_{+}$ die Beziehung

$\frac{a}{b}\ge \frac{c}{d}$

genau dann, wenn in $\mathbb{Z}$ die Beziehung

$ad\ge bc$

gilt. Um dies von der Zahlengerade her einzusehen, bringt man die beiden rationalen Zahlen auf den Hauptnenner, d.h. man vergleicht $\frac{ad}{bd}$ und $\frac{cb}{bd}$. Die Größerbeziehung hängt dann, wegen $bd$ positiv, allein von den beiden Zählern ab.

Fußnoten