Rationale Zahlen/Brüche/Einführung/Textabschnitt

Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit ${}\mathbb {Q}$ bezeichnet.

Einen Ausdruck ${}{\frac {a}{b}}$ nennt man Bruch, wobei ${}a$ der Zähler und ${}b$ der Nenner des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben, beispielsweise ist ${}{\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}$. Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl ${}{\frac {a}{1}}$ schreibt man einfach ${}a$. In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Es gelten die folgenden Identitäten (dabei seien ${}c,d\neq 0$, ansonsten seien alle ${}a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ beliebig).

1. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

2. ${}{\frac {0}{c}}=0\,,$

3. ${}{\frac {c}{c}}=1\,,$

4. ${}{\frac {a}{c}}={\frac {ad}{cd}}\,.$

Die Addition und die Multiplikation auf rationalen Zahlen wird folgendermaßen festgelegt.

1. ${}{\frac {a}{c}}\cdot {\frac {b}{d}}:={\frac {ab}{cd}}\,.$

2. ${}{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{d}}:={\frac {ad+bc}{cd}}\,.$

Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operationen sind wohldefiniert und wie in ${}\mathbb {Z}$ assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Diese Eigenschaften kann man auf die entsprechenden Eigenschaften der ganzen Zahlen zurückführen, siehe Aufgabe.

Die ${}0={\frac {0}{1}}$ hat wieder die Eigenschaft

${}0+{\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,$

und die ${}1={\frac {1}{1}}$ hat wieder die Eigenschaft

${}1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,.$

Ferner gibt es wieder zu einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ die negative Zahl

${}-{\frac {a}{b}}={\frac {-a}{b}}\,.$

Sie besitzt die charakteristische Eigenschaft

${}-{\frac {a}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {-a+a}{b}}=0\,.$

Zu einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\neq 0$ (also wenn Zähler und Nenner von ${}0$ verschieden sind) ist auch der umgedrehte Bruch ${}{\frac {b}{a}}$ eine rationale Zahl, und es gilt

${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1\,.$

Man nennt ${}{\frac {b}{a}}$ die inverse rationale Zahl zu ${}{\frac {a}{b}}$.

Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren (die ganzen Zahlen seien dort schon platziert). Die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ findet man so: Man unterteilt die Strecke von ${}0$ nach ${}a$ in ${}b$ gleichlange Teilstrecken. Die Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ ist dann die rechte Grenze der (von links) ersten Teilstrecke. Insbesondere ist ${}{\frac {1}{b}}$ die Länge des Intervalls, dass ${}b$-fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke (oder das Einheitsintervall) ergibt.

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. Dabei gilt für ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ mit ${}a,c\in \mathbb {Z}$ und ${}b,d\in \mathbb {N} _{+}$ die Beziehung

${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}\,$

genau dann, wenn in ${}\mathbb {Z}$ die Beziehung

${}ad\geq bc\,$

gilt. Um dies von der Zahlengerade her einzusehen, bringt man die beiden rationalen Zahlen auf den Hauptnenner, d.h. man vergleicht ${}{\frac {ad}{bd}}$ und ${}{\frac {cb}{bd}}$. Die Größerbeziehung hängt dann, wegen ${}bd$ positiv, allein von den beiden Zählern ab.

Fußnoten