Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in Aufgabe gezeigt. Es sei ${}x={\frac {a}{b}}$, ${}y={\frac {c}{d}}$ und ${}z={\frac {e}{f}}$ mit positiven Nennern ${}b,d,f$. Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt ${}b=d=f$ annehmen. Sei

${}x\geq y\,,$

also

${}a\geq c\,.$

Dann ist nach Fakt  (2) auch

${}a+e\geq c+e\,$

und somit ist

${}x+z={\frac {a}{b}}+{\frac {e}{b}}={\frac {a+e}{b}}\geq {\frac {c+e}{b}}={\frac {c}{b}}+{\frac {e}{b}}=y+z\,.$

Wenn die beiden Brüche ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ beide ${}\geq 0$ sind, so sind alle Zähler und Nenner aus ${}\mathbb {N}$ und dies überträgt sich auf ${}{\frac {ac}{bd}}$, also ist auch dies ${}\geq 0$.

Zur bewiesenen Aussage