Rationale Zahlen/Gemischte Brüche/Textabschnitt

Definition

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

$n{\frac {a}{b}}$

mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N}$ und ${}a<b$. Der Wert eines gemischten Bruches ist

$n+{\frac {a}{b}}.$

Die natürliche Zahl ${}n$ heißt der ganzzahlige Anteil und ${}{\frac {a}{b}}$ heißt der Bruchanteil. Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von ${}7{\frac {1}{4}}$ mit dem Produkt ${}7\cdot {\frac {1}{4}}$. In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel.

Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch ${}{\frac {c}{b}}$ erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest

${}c=nb+a\,$

mit ${}0\leq a<b$ durchführt und die Umformung

${}{\frac {c}{b}}={\frac {nb+a}{b}}=n+{\frac {a}{b}}=n{\frac {a}{b}}\,$

vornimmt. Insbesondere ist ${}n=\left\lfloor {\frac {c}{b}}\right\rfloor$. Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches ${}n{\frac {a}{b}}$ arbeitet man mit ${}n+{\frac {a}{b}}$. Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche ${}n+{\frac {a}{b}}$ und ${}m+{\frac {c}{d}}$ miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von ${}(n+m)+{\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)}$ ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese ${}1$ übertrifft oder nicht und gegebenenfalls ${}1$ zum ganzen Anteil dazuschlagen.