Rationale Zahlen/Größergleichrelation/Wohldefiniert/Aufgabe/Lösung

Es seien

${}x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,$

und

${}y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,$

die rationalen Zahlen, die verglichen werden sollen, wobei alle Nenner positiv seien. Dann ist

${}ab'=a'b\,$

und

${}cd'=c'd\,.$

Aus

${}ad\geq bc\,$

ergibt sich dann gemäß Fakt  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl ${}b'd'$

${}adb'd'\geq bcb'd'\,.$

Dies schreiben wir als

${}a'dbd'\geq bc'b'd\,,$

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl ${}db$ die Abschätzung

${}a'd'\geq b'c'\,$

ergibt, die

${}{\frac {a'}{b'}}\geq {\frac {c'}{d'}}\,$

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ${}\geq$ ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten.

Zur gelösten Aufgabe