Rationale Zahlen/Unendlich viele dazwischen/Anleitung/Aufgabe/Lösung

Die Ungleichung

${}x<{\frac {x+ny}{1+n}}\,$

folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung ${}x<y$ aus

${}(1+n)x=x+nx<x+ny\,,$

die Ungleichung

${}{\frac {x+ny}{1+n}}<y\,$

folgt ebenso aus

${}x+ny<y+ny=(1+n)y\,.$

Wir behaupten, dass für

${}n+1>n\,$

die Beziehung

${}z_{n+1}={\frac {x+(n+1)y}{1+n+1}}>{\frac {x+ny}{1+n}}=z_{n}\,$

gilt. Dazu berechnen wir

${}(x+(n+1)y)(1+n)=(1+n)x+n^{2}y+2ny+y\,$

und

${}(x+ny)(2+n)=(2+n)x+n^{2}y+2ny\,.$

Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist

${}y-x>0\,,$

was die Behauptung bestätigt.

Zur gelösten Aufgabe