Rationale Zahlen/Unendlich viele dazwischen/Anleitung/Aufgabe/Lösung

Die Ungleichung

$x<\frac{x+ny}{1+n}$

folgt gemäß der Überkreuzungsregel unter Verwendung der Voraussetzung  $x<y$  aus

$(1+n)x=x+nx<x+ny,$

die Ungleichung

$\frac{x+ny}{1+n}<y$

folgt ebenso aus

$x+ny<y+ny=(1+n)y.$

Wir behaupten, dass für

$n+1>n$

die Beziehung

$z_{n+1}=\frac{x+(n+1)y}{1+n+1}>\frac{x+ny}{1+n}=z_n$

gilt. Dazu berechnen wir

$(x+(n+1)y)(1+n)=(1+n)x+n^{2}y+2ny+y$

und

$(x+ny)(2+n)=(2+n)x+n^{2}y+2ny.$

Die Differenz des ersten Term zum zweiten Term ist

$y-x>0,$

was die Behauptung bestätigt.

Zur gelösten Aufgabe