Rationale Zahlen/Unterringe/Überabzählbar/Aufgabe/Lösung

Es sei $T$ eine Teilmenge der Primzahlen. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es überabzählbar viele Teilmengen davon. Zu $T$ gehört das multiplikative System $M(T)$, das aus allen ganzen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Die Nenneraufnahme

${\mathbb{Z}}_{M(T)}\subseteq \mathbb{Q}$

besteht aus allen rationalen Zahlen, die man mit einem Nenner schreiben kann, in dessen Primfaktorzerlegung nur Primzahlen aus $T$ vorkommen. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\mathbb{Z}$ sind diese Ringe für verschiedene Teilmengen verschieden.

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