Rationale und irrationale Zahlen/Pythagoreische Tripel im Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}3^{2}+4^{2}=5^{2}\,,

daher ist

{}{\left({\frac {3}{6}}\right)}^{2}+{\left({\frac {4}{6}}\right)}^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\,,

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen ${}a={\frac {3}{6}}$ und ${}b={\frac {4}{6}}$ und ${}c={\frac {1}{6}}$ . Die Summe ist

{}a^{2}+b^{2}={\left({\frac {5}{6}}\right)}^{2}\neq {\left({\frac {1}{6}}\right)}^{2}\,.

c) Wir setzen

{}a=b={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\,;

diese Zahl ist irrational, da ${}{\sqrt {2}}$ irrational ist. Es gilt

{}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4\cdot 2}}+{\frac {1}{4\cdot 2}}={\frac {1}{4}}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,.

Mit ${}c={\frac {1}{2}}$

ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.