Rationaler Punkt auf elliptischer Kurve/Eigenschaften/Kongruente Zahl/Fakt

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}E$ die durch ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$. Es gebe einen rationalen Punkt ${}P=(x,y)\in E(\mathbb {Q} )$ mit der Eigenschaft, dass ${}x$ ein Quadrat (in ${}\mathbb {Q}$) ist und der Nenner von ${}x$ in gekürzter Darstellung gerade ist.

Dann ist ${}n$ eine kongruente Zahl.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen