Rationaler Punkt auf elliptischer Kurve/Eigenschaften/Kongruente Zahl/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x=u^{2}$ mit ${}u\in \mathbb {Q} _{+}$. Mit ${}v=y/u$ gilt

${}v^{2}+n^{2}={\frac {y^{2}}{u^{2}}}+n^{2}={\frac {x^{3}-n^{2}x}{x}}+n^{2}=x^{2}-n^{2}+n^{2}=x^{2}\,.$

Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck mit den rationalen Seitenlängen ${}v,n$ und ${}x$ vor. Es sei ${}r$ der Nenner von ${}u$ in gekürzter Darstellung, dieser ist gerade nach Voraussetzung. Wir multiplizieren die rationalen Zahlen ${}(v,n,x)$ mit ${}r^{2}$. Dabei ist mit ${}r^{2}x$ auch ${}r^{2}v$ ganzzahlig und so entsteht ein primitives pythagoreisches Tripel, wobei ${}r^{2}n$ gerade ist. Nach Fakt gibt es daher natürliche Zahlen ${}s>t>0$ mit

$r^{2}v=s^{2}-t^{2},\,r^{2}n=2st,\,r^{2}x=s^{2}+t^{2}.$

Wir betrachten nun das Dreieck mit den Seitenlängen ${}{\frac {2s}{r}},\,{\frac {2t}{r}},\,2u$. Wegen

${}\left({\frac {2s}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {2t}{r}}\right)^{2}={\frac {4s^{2}+4t^{2}}{r^{2}}}={\frac {4r^{2}x}{r^{2}}}=4x=(2u)^{2}\,$

liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor und wegen

${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2s}{r}}\cdot {\frac {2t}{r}}={\frac {2st}{r^{2}}}={\frac {r^{2}n}{r^{2}}}=n\,$

ist sein Flächeninhalt gleich ${}n$. Somit ist ${}n$ eine kongruente Zahl.

Zur bewiesenen Aussage