Rationaler Punkt auf elliptischer Kurve/Eigenschaften/Kongruente Zahl/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei mit . Mit gilt

Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck mit den rationalen Seitenlängen und vor. Es sei der Nenner von in gekürzter Darstellung, dieser ist gerade nach Voraussetzung. Wir multiplizieren die rationalen Zahlen mit . Dabei ist mit auch ganzzahlig und so entsteht ein primitives pythagoreisches Tripel, wobei gerade ist. Nach Fakt gibt es daher natürliche Zahlen mit

Wir betrachten nun das Dreieck mit den Seitenlängen . Wegen

liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor und wegen

ist sein Flächeninhalt gleich . Somit ist eine kongruente Zahl.