Rationales Einheitsintervall/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die ${}0$ und das neutrale Element des Minimums ist ${}1$, da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))\,$

bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in ${}b$ und ${}c$ symmetrisch ist, können wir ${}b\leq c$ annehmen. Bei

${}a\leq b\leq c\,$

ergibt sich links ${}a$ und rechts ebenfalls ${}\operatorname {max} (a,a)=a$. Bei

${}b\leq a\leq c\,$

ergibt sich links

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=a\,$

und rechts ebenfalls

${}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,a)=a\,.$

Bei

${}b\leq c\leq a\,$

ergibt sich links

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=c\,$

und rechts ebenfalls

${}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,c)=c\,.$

Zur gelösten Aufgabe