Rationales Einheitsintervall/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung

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Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die und das neutrale Element des Minimums ist , da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)

bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in und symmetrisch ist, können wir annehmen. Bei

ergibt sich links und rechts ebenfalls . Bei

ergibt sich links

und rechts ebenfalls

Bei

ergibt sich links

und rechts ebenfalls

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