Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/Beispiel

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Wir betrachten die beiden Mengen

(aus Beispiel) und

und interessieren uns für den Durchschnitt

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie und ), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit reellen Zahlen multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise

Daher ist

da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach auflösen und erhält

und für muss dann

sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist

Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge .