Rechtwinkliges Dreieck/Rationale Seiten/Flächeninhalt/1/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${}h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als ${}{\frac {a}{h}},{\frac {b}{h}},{\frac {c}{h}}$ an, mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Die Flächenbedingung bedeutet

${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{h}}\cdot {\frac {b}{h}}=1\,$

bzw.

${}ab=2h^{2}\,.$

Wir lösen nach ${}b$ auf und erhalten

${}b={\frac {2h^{2}}{a}}\,$

und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten

${}a^{2}+{\left({\frac {2h^{2}}{a}}\right)}^{2}=c^{2}\,$

bzw.

${}a^{4}+4h^{4}=c^{2}a^{2}\,.$

Wir schreiben dies als

${}0=a^{4}-a^{2}c^{2}+4h^{4}={\left(a^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {c^{4}}{4}}+4h^{4}\,.$

Multiplikation mit ${}4$ ergibt

${}0={\left(2a^{2}-c^{2}\right)}^{2}-c^{4}+(2h)^{4}\,$

bzw.

${}(2h)^{4}-c^{4}={\left(2a^{2}-c^{2}\right)}^{2}\,.$

Dann wäre aber das Tripel ${}(2h,c,2a^{2}-c^{2})$ eine Lösung der Gleichung

${}x^{4}-y^{4}=z^{2}\,.$

Wegen der Irrationalität von ${}{\sqrt {2}}$ ist ${}2a^{2}-c^{2}\neq 0$,

sodass es eine nichttriviale Lösung wäre, was es nicht geben kann.

Zur gelösten Aufgabe