Reelle Ebene/Trivialer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Verknüpfung/1/Aufgabe

Wir betrachten den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

über ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es seien die Vektorfelder

${}V=y^{3}\partial _{1}+xy\partial _{2}\,$

und

${}W={\left(x^{2}-y\right)}\partial _{1}+4x^{3}y^{2}\partial _{2}\,$

gegeben. Es sei

${}f=x^{3}-xy^{2}+y^{4}\,.$

Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.

1. ${}\nabla _{V}f$,
2. ${}\nabla _{W}f$,
3. ${}[V,W]$,
4. ${}\nabla _{W}\nabla _{V}f$,
5. ${}\nabla _{V}\nabla _{W}f$,
6. ${}\nabla _{[V,W]}(f)$.

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