Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe die Folge ${}{\sqrt[{n}]{b}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}1$ konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ${}\epsilon$ ein positives ${}\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus

${}\vert {x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. Es sei nun ${}x$ beliebig und ${}\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein ${}\delta$, das zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$

die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt  (1) für ${}x'$ mit

${}\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage