Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit und Bild/Fakt/Beweis

Beweis

Die Stetigkeit folgt aus Fakt, da die Exponentialfunktion ja über eine Potenzreihe definiert ist. Nach Fakt  (4) liegt das Bild in ${}\mathbb {R} _{+}$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Fakt  (3), woraus wegen Fakt  (2) folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich ${}\mathbb {R} _{+}$. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt  (6) in Verbindung mit Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage