Reelle Potenzreihe/Konvergenz/Stetige Funktion/Fakt

Es sei

${}f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\,$

eine Potenzreihe und es gebe ein  ${}x_{0}\neq 0$  derart, dass ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{0}^{n}$ konvergiere.

Dann gibt es ein positives ${}R$ (wobei ${}R=\infty$ erlaubt ist) derart, dass für alle  ${}x\in \mathbb {R}$  mit  ${}\vert {x}\vert <R$  die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen (offenen) Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe ${}f(x)$ eine stetige Funktion dar.

Einen Beweis erstellen